志第八 历二


    ▲大统历法一上法原
    造历者各有本原,史宜备录,使后世有以考。如《太初》之起数钟律,《大衍》之
造端蓍策,皆详本志。《授时历》以测算术为宗,惟求合天,不牵合律吕、卦爻。然其
法所以立,数之所从出,以及晷影、星度,皆有全书。郭守敬、齐履谦传中,有书名可
考。《元史》漫无采摭,仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成
之数,与夫割圆弧矢之法,平立定三差之原,尽削不载。使作者精意湮没,识者憾焉。
今据《大统因通轨》及《历草》诸书,稍为编次,首法原,次立成,次推步。而法原之
目七:曰句股测望,曰弧矢割圆,曰黄赤道内外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三
差,曰里差刻漏。
    ▲句股测望
    北京立四丈表,冬至日午正,测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至
地平二十六度四十六分半,为半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半径,截矢
余五十四度九十六分为股,乃本地支戴日下之度。以弦股别句术,求得句二十六度一下
七分六十六秒,为日出地半弧弦。
    北京立四丈表,夏至日午正,测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至
地平七十四度二十六分半,为半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半径,
截矢余一十七度一十三分二十五秒为句,乃本地去戴日下之度。以句弦别股术,求得股
五十八度四十五分半,为日出地半弧弦。
    以二至日度相并,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,为北京赤道出地
度。以赤道出地度转减周天四之一,余四十度九十四分九十三秒七十五微,为北京北极
出地度。
    ▲弧矢割圆
    周天经一百二十一度七十五分少。少不用。半径六十零度八十七分半。又为黄赤道
大弦。二至黄赤道内外半弧背二十四度。所测就整。二至黄赤道弧矢四度八十四分十二
秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。半径内
减去矢度之数。
    割圆求矢术 置半弧度自之,为半弧背幕,周天径自之,为上廉。上廉乘半弧背幕,
为正实。上廉乘径,为益从方。半弧背倍之,乘径,为下廉。以初商乘上廉,得数以减
益从方,余为从方。置初商自之以下廉,余以初商乘之,为从廉。从方、从廉相并,为
下法。下法乘初商,以减正实,实不足减,改初商。实有不尽,次第商除之。倍初商数,
与次商相并以乘上廉,得数以减益从方,余为从方。并初商次商而自之,又以初商自之,
并二数以减下廉,余以初商倍数并次商乘之,为从廉。从方、从廉相并,为下法。下法
乘次商,以减余实,而定次商。有不尽者,如法商之,皆以商得数为矢度之数。黄赤道
同用。
    如以半弧背一度求矢。术曰:置半弧背一度自之,得一度,为半弧幕。置周天径一
百二十一度太自之,得一万四千八百二十三度零六分二十五秒,为上廉。上廉乘半弧背
幕,得一万四千八百二十三度零六分二五,为正实。上廉又乘径,得一百八十零万四千
七百零七度八十五分九十三秒七五,为益从方。半弧背一度倍之,得二度,以乘径得二
百四十三度五十分,为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度
零六二五,得一百一十八度五八四五,以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九
三七五,余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五,为从方。又置初商八十秒自
之,得六十四微,以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四
七九九九四八八,为从廉。以从廉、从方并之,共得一百八十零万四千五百九十一度二
二二八七四四八八,为下法。下法乘初商,得一万四千四百三十六度七十二分九七八二
九九五九零四,以减正实,余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二
秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二委六十二秒,乘上廉一万四千八百二
十三度零六二五,得二百四十零度一三三六一二五,以减益从方,余一百八十零万四千
四百六十七二五七六二五,为从方。又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八
十秒自之之数,得一秒三十一微,以减下廉,余二百四十三度四九九八六九。以前所得
一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,为从廉。以从廉、从方并,得
一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八,为下法。下法乘次商,得三
百六十零度八九四三三四零九二零七五五六,以减余实,仍余二十五度四三八三八二九
一二零二零四四。不足一秒叶不用,下同。
    凡求得矢度八十二秒,余度各如上法,求到矢度,以为黄赤相求及其内外度之根。
数详后。
    ▲黄赤道差
    求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度,余为黄赤道小弦。置
黄赤道小弦,以黄赤道大股乘之大股见割圆为实。黄赤道大弦半径为法。实如法而一,
为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实,以周天全径为法,实如法而一,为黄道半背弦差。
以差去减黄赤道积度,即黄道半弧背。余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕,
黄赤道小股自之为句幕,二幕并之,以开平方法除之,为赤道小弦。置黄赤道半弧弦,
以周天半径亦为赤道大弦乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道半弧弦。置黄赤道小
股,亦为赤道横小句以赤道大弦即半径乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道横大句,
以减半径,余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实,以全径为法而一,为赤道半背弦差。以
差加赤道半弧,为赤道积度。
    如黄道半弧背一度,求赤道积度。术曰:“置半径六十零度八十七分五十秒,即黄
赤道大弦。内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八,为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,
以黄赤道大股五十六度零二六八乘之,得三千四百一十零度一七二零三零二四为实,以
黄赤道大弦六十零度八七五为法,实如法而一,得五十六度零一分九十二秒,为黄赤道
小股。又为赤道小句。置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全径一百二十一度七五为
法,除之得五十五纤,为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度,内减黄道半背弦差,余
为半弧弦,因因差在微以下不减,即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之,得一度
为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之,得三千一百三十八度一五零七六八六四为
句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实,平方开之,得五十六度零
二八一,为赤道小弦。置黄道半弧弦一度,以半径即赤道大弦乘之,得六十零度八七五
为实,以赤道小股五十六度零二八一为法除之,得一度零八分六十五秒,为赤道半弧弦。
置黄赤道小股五十六度零一九二,又为赤道小句。以赤道大弦半径六十零度八七五乘之,
得三千四百一十零度一六八八为实,以赤道小弦为法除之,得六十零度八十六分五十三
秒,为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒,内减赤道大句六十零度八十六分
五十三秒,余九十七秒,为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之,得九十四微零九,
以全径为法除之,得七十纤,为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒,加赤
道背弦差,为赤道积度,今差在微已下不加,即用半弧弦为积度。
    凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法,求到各黄道度下赤道积,两
数相减,即得黄赤道差,乃至后之率。其分后,以赤道度求黄道,反此求之,其数并同。
    ▲黄赤道相求弧矢诸率立成上
    表格略
    ▲黄赤道相求弧矢诸率立成下
    表格略
    按郭敬创法五端,内一曰黄道差,此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》
立术,以句股、弧矢、方圆、斜直所容,求其数差,合於浑象之理,视古为密。顾《至
元历经》所载略,又误以黄道矢度为积差,黄道矢差为率,今正之。
    ▲割圆弧矢图
    凡浑圆中剖,则成平圆。任割平圆之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。
剖弧矢形而半之,则有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢句股形,以半弧弦为句,矢减
半径之余为股,半径为弦。句股内成小句股,则有小句、小股、小弦、而大小可互求,
平侧可互用,浑圆之理,斯为密近。
    平者为赤道,斜者为黄道。因二至黄道赤之距,生大句股。因各度黄赤之距,生小
句股。
    外大圆为赤道。从北极平视,则黄道在赤道内,有赤道各度,即各有其半弧弦,以
生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。
    按旧史无图,然表亦图之属也。今句股割弧矢之法,实为历家测算之本。非图不明,
因存其要者数端。
    ▲黄赤道内外度
    推黄道各度,距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦,余为赤道二弦差。
又为黄赤道小弧矢,又为内外矢,又为股弦差。置半径内外减去黄道矢度,余为黄赤道
小弦,以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实,以黄赤道大弦为法,即半径。除之为黄赤道
小弧弦。即黄赤道内外半弧弦,又为黄赤道小句。置黄赤道小弧矢自之,即赤道二弦差。
以全径除之,为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背,即黄赤道内外度。
置黄赤道内外度,视在盈初缩末限以加,在缩初盈天限以减,皆加减象限度,即各得太
阳去北极度分。
    如冬至后四十四度,求太阳去赤道内外及去极度。术曰:“置半径六十零度八十七
分半,内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,余二度五十一分八十
一秒,为黄赤道小弧矢。即内外矢。置半径六十零度八七五,内减黄道四十四度,矢一
十六度五十六分八十二秒,余四十四三十零分六十八秒,为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,
以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千零五十零度五十一分四二三八
为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之,得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小
弧弦。即内外半弧弦。置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实,以全径地百二
十一度七十五分除之,得五分二十一秒为背弦差,以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五
分六十九秒,得一十七度三十零分八十九秒,为二至前后四十四度,太阳去赤道内外度。
置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以内外度一十七度三零八九加之,得一百零八
度六十二分三十二秒七五,为冬至后四十四度太阳去北极度。
    ▲黄道每度去赤道内外及去北极立成
    表格略
    ▲白道交周
    推白赤道正交,距黄赤道正交北极数。术曰:“置实测白道出入黄道内外六度为半
径弧弦,又为大图弧矢,又为股弦差。置半径六十零度七五自之,得三千七百零五度七
六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分为股弦和,加矢六度,共六百二
十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分,又为小句。又以二至出入半弧弦
二十三度七十一分为大句。以大句为法,除大股五十六度零六分五十秒,得二度三十七
分就整为度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,为容半长。置半径
六十零度八七五为大弦,以乘小句五度七十分为实,以大句二十三度七十一分为法除之,
得一十四度六十三分为小弦,又为白赤道正交,距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧
背一十四度六十六分,为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。

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